320. Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2) se a função densidade e p(x,y) = 1 + 3x +...

Para determinar a massa da lâmina triangular, é necessário calcular a integral dupla da função densidade p(x,y) sobre a região triangular delimitada pelos vértices (0,0), (1,0) e (0,2): m = ∬R p(x,y) dA Onde R é a região triangular e dA é o elemento de área. Integrando a função densidade p(x,y) em relação a x e y, temos: m = ∫[0,2] ∫[0,1-y/2] (1 + 3x + y) dx dy m = ∫[0,2] [(1 + 3x + y) (x)|[0,1-y/2]] dy m = ∫[0,2] [(1/2 + 3/4 y + 1/2 y^2)] dy m = 5/3 Portanto, a massa da lâmina triangular é 5/3. Para determinar o centro de massa, é necessário calcular as coordenadas x e y do centro de massa, dadas pelas seguintes fórmulas: x = (1/m) ∬R x p(x,y) dA y = (1/m) ∬R y p(x,y) dA Integrando as expressões acima, temos: x = ∫[0,2] ∫[0,1-y/2] x (1 + 3x + y) dx dy / (5/3) x = 7/15 y = ∫[0,2] ∫[0,1-y/2] y (1 + 3x + y) dx dy / (5/3) y = 8/15 Portanto, as coordenadas do centro de massa da lâmina triangular são (7/15, 8/15).