Questão 3 (20 pontos) Considere a curva x2 − xy + y2 = 3. (a) Determine as interseções dessa curva com o eixo x. (b) Mostre que a retas tangente...

(a) Para encontrar as intersecções da curva com o eixo x, basta substituir y por 0 na equação da curva. Assim, temos: x² - x*0 + 0² = 3 x² = 3 x = ±√3 Portanto, as intersecções da curva com o eixo x são os pontos (√3, 0) e (-√3, 0). (b) Para mostrar que as retas tangentes nesses pontos de intersecção são paralelas, precisamos calcular as derivadas parciais da equação da curva em relação a x e y: ∂/∂x (x² - xy + y²) = 2x - y ∂/∂y (x² - xy + y²) = 2y - x A reta tangente a uma curva em um ponto de coordenadas (a, b) tem a equação: y - b = f'(a, b)*(x - a) No ponto (√3, 0), temos: f' (√3, 0) = 2√3 y = 2√3(x - √3) No ponto (-√3, 0), temos: f' (-√3, 0) = -2√3 y = -2√3(x + √3) Observe que as duas retas têm a mesma inclinação, que é igual a ±2√3. Portanto, elas são paralelas.