Determine volume do sólido d revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo x delimitada pela curva y= -√x pelo eixo x e pela reta x=3 ?

Para determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo x, delimitada pela curva y = -√x, pelo eixo x e pela reta x = 3, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas. Método dos discos: - Integrar de 0 a 3 a área de cada disco formado pela rotação da curva y = -√x em torno do eixo x. - A área de cada disco é dada por A = πr², onde r é o raio do disco. - Como a curva y = -√x está abaixo do eixo x, o raio do disco é dado por r = -y = √x. - Substituindo na fórmula da área, temos A = π(√x)² = πx. - Integrando de 0 a 3, temos V = ∫₀³ πx dx = π[x²/2]₀³ = 9π/2. Método das cascas: - Integrar de 0 a 3 o volume de cada casca formada pela rotação da curva y = -√x em torno do eixo x. - O volume de cada casca é dado por V = 2πrhΔx, onde r é o raio da casca, h é a altura da casca e Δx é a espessura da casca. - Como a curva y = -√x está abaixo do eixo x, o raio da casca é dado por r = -y = √x. - A altura da casca é dada por h = 3 - x, já que a casca se estende de x até 3. - Substituindo na fórmula do volume, temos V = 2π(√x)(3-x)Δx. - Integrando de 0 a 3, temos V = ∫₀³ 2π(√x)(3-x) dx = 9π/2. Portanto, o volume do sólido de revolução é 9π/2, independente do método utilizado.