Sabe-se que o ângulo entre os vetores (p, p- 4,0) e (2, 0, -2) vale 45°. Determine o valor de p real.

Para encontrar o valor de p, podemos utilizar a fórmula do produto escalar entre dois vetores: cos(θ) = (u . v) / (||u|| ||v||) Onde θ é o ângulo entre os vetores, u e v são os vetores dados e ||u|| e ||v|| são seus módulos. Substituindo os valores, temos: cos(45°) = [(p * 2) + ((p - 4) * 0) + (0 * -2)] / [(sqrt(p^2 + (p-4)^2 + 0^2)) * (sqrt(2^2 + 0^2 + (-2)^2))] Simplificando, temos: 1/√2 = (2p) / (sqrt(2p^2 - 8p + 20)) Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo a equação resultante, encontramos: p = 3 + √13 ou p = 3 - √13 Portanto, o valor de p real é p = 3 + √13 ou p = 3 - √13.