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1. . . + . . . = +∞ ou seja, aprenderemos a efetuar “somas” que possuem uma “quantidade infinita” de parcelas. Isso, evidentemente, não pode ser feito da maneira convencional; para efetuarmos uma “soma” como as mostradas acima lançaremos mão do conceito de limite de sequências. 1 Definição e Exemplos de Séries No capítulo anterior estudamos certas sequências que tinham a particularidade de que seus termos gerais eram representados por somas. Relembremos algumas delas. Exemplo 28. Comecemos com a sequência Sn = 1 + r + r2 + . . .+ rn, em que r é um número real. Observemos que as parcelas dessa soma são termos de uma progressão geométrica de razão r. Como já visto Sn = 1 + r + r2 + . . .+ rn = 1− rn+1 1− r , se r ̸= 1. 67 68 Análise - Capítulo 4 UFPA Se |r| < 1, essa sequência converge para 1 1−r . Grosso modo, isso significa considerar uma “soma com um número infinito de parcelas”, sendo razoável pensar em fazer lim n→∞ Sn = lim n→∞ (1 + r + r2 + . . .+ rn) = lim n→∞ n∑ j=0 rj = ∞∑ j=0 rj. Assim, poderíamos escrever ∞∑ n=0 rn = 1 1− r desde que |r| < 1. Isso nos diz que podemos “somar” uma quantidade infinita de parcelas mas o resultado desta operação pode resultar em um valor finito. Vejamos outros exemplos. Exemplo 29. Consideremos a sequência (Sn) dada por Sn = 1 + 1 2 + 1 3 + . . .+ 1 n estudada no exemplo 24 do Capítulo 3. Conforme visto, 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · ·+ 1 2n > 1 + n · 1 2 . Como limn · 1 2 = ∞ tem-se, por comparação, que a sequência (Sn) tende para +∞. Neste caso, a “soma” de uma quantidade infinita de parcelas é infinita, muito embora as parcelas tendam a zero. Diz-se que a série 1 + 1 2 + 1 3 + · · ·+ 1 n + · · · = ∞∑ n=1 1 n . é divergente e sua soma é +∞. Exemplo 30. No exemplo 28 “somamos” infinitas parcelas o que produziu um resultado finito. No exemplo 29 tivemos um resultado infinito. Vejamos um exemplo em que nenhum desses casos ocorre. Consideremos a sequência cujos termos são somas dadas por S1 = 1, S2 = 1− 1, S3 = 1− 1 + 1, S4 = 1− 1 + 1− 1, . . . Na notação de soma infinita podemos escrever ∞∑ n=1 (−1)n+1. ∑∞ n=1(−1)n+1 nem possui valor finito nem resulta em +∞. Para concluir esse exemplo, convidamos o leitor a analisar criticamente o que será feito a seguir e identificar as falhas nos argumentos. Consideremos a “soma” S = 1−1+1−1+1−1+· · · = (1−1)+(1−1)+(1−1)+· · · = 0+0+0+· · · = 0. No entanto, se rearranjarmos a “soma” como S = 1− [1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · · ] = 1− [(1− 1) + (1− 1) + · · · ] = 1− [0 + 0 + 0 · · · ] = 1− 0 = 1. Ora, por um lado S = 0 e, por outro, S = 1, o que é impossível. O que há de errado nos argumentos acima? Observe que propriedades usadas no argumento precedente como, por exemplo, a associatividade são válidas quando trabalhamos com um número finito de parcelas. Aqui, no que concerne às séries, estamos a considerar limites. Portanto, devemos ser muito cuidadosos nesses processos. Após esta introdução informal iniciaremos o estudo rigoroso das séries infinitas ou, simplesmente, séries. Definição 30. Uma série infinita, ou simplesmente série, é um par de sequências reais (an) e (sn) cujos termos estão ligados pelas relações sn = n∑ k=1 ak = a1 + a2 + · · · an a1 = s1 e an = sn − sn−1, n ≥ 2. A primeira dessas é chamada sequência dos termos da série e a segunda sequência das somas parciais. Uma série é, portanto, um par da forma ((an), (sn)) em que (an) e (sn) estão relacionados como acima. No entanto, é mais usual designar a série como uma soma infinita da forma ∞∑ n=1 an ou ∑ an. 70 Análise - Capítulo 4 UFPA As somas parciais sn = n∑ k=1 ak são também chamadas reduzidas de ordem n da série ∞∑ n=1 an. Na próxima definição, atribuiremos um sentido à soma infinita que representa uma série. Definição 31. Dada uma série ∞∑ n=1 an, se a sequência das somas parciais (sn) convergir para s diremos que a série converge e escrevemos s = ∞∑ n=1 an. Caso a sequência das somas parciais não convirja, diremos que a série diverge. “De repente o mostrador luminoso (da calculadora) me revela uma fileira de 3 - chego a pensar que ha- ja enguiçado. É que cai naquilo a que os entendi- dos chamam de dízima pe- riódica - algo que sempre me fascinou, mais pelo no- me que pela compreensão de seu significado. Saber que a série de algarismos se prolonga indefinidamen- te me parece tão fantástico como aquela definição de paralelas, segundo a qual elas “se encontram no infi- nito”. Onde fica o infini- to? Eis uma questão que nem Dostoievski ousou for- mular.” (Fernando Sabino, na crônica DOIS E DOIS SÃO CINCO, contida em A Falta que ela me faz.) Assim, para efetuarmos somas com uma infinidade de parcelas devemos proceder como foi dito na definição anterior. Por exemplo, ∞∑ n=1 1 3n−1 = 1 + 1 3 + 1 32 + 1 33 + . . . = lim n→+∞ ( 1 + 1 3 + 1 32 + . . .+ 1 3n−1 ) = 1 1− 1 3 = 2 3 Esse é um caso particular no qual a série pode ser escrita na forma ∞∑ n=1 rn em que r é um número real. Essas são chamadas séries geométricas de razão r. Vejamos mais alguns exemplos. Exemplo 31. Consideremos o número decimal 0, 999 . . . visto como a série 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + · · · UFPA Análise - Capítulo 4 71 que pode ser reescrita como 9 10 + 9 102 + 9 103 + · · · = 9 10 [ 1 + 1 10 + ( 1 10 )2 + ( 1 10 )3 + · · · ] . O termo entre colchetes é familiar ao leitor; ela é a série geométrica com razão r = 1 10 . Desse modo, 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + · · · = 9 10 · 1 1− 1 10 = 9 10 · 10 9 = 1 o que confirma exatamente aquilo que esperávamos: 0, 999 . . . = 1. Exemplo 32. Vejamos uma outra situação que também recai em uma série geométrica. Consideremos a dízima periódica d = 0, 215626262 . . . e determinemos a sua geratriz. Nesse caso, tem-se d = 0, 215 + 0, 00062 + 0, 0000062 + 0, 000000062 + . . . de modo que d = 215 103 + 62 105 + 62 107 + 62 109 + . . . e daí d = 215 103 + 62 105 [ 1 + 1 102 + ( 1 102 )2 + · · · ] em que o termo entre colchetes é um série geométrica cuja razão é 1 102 . Logo, d = 215 103 + 62 105 · 1 1− 1 102 e então d = 215 1000 + 62 99000 = 21.347 99.000 que é a geratriz da dízima periódica em estudo. Vejamos uma série que não é