As integrais duplas são usadas para calcular o volume abaixo de uma superfície, e podem ser calculadas peloprocesso das somas de Riemann ou utiliza...

Para calcular o volume do sólido abaixo do plano 3x + y + z = 12 e acima do retângulo R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ 3}, podemos utilizar o Teorema de Fubini e calcular a integral dupla iterada. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para x e y: - Para x: 0 ≤ x ≤ 1 - Para y: -2 ≤ y ≤ 3 - 3x - z Agora, vamos escrever a integral dupla iterada: V = ∬R f(x,y) dA V = ∫0¹ ∫-2^(3-3x-z)³ 12 - 3x - y - z dy dx Integrando em relação a y, temos: V = ∫0¹ [y(12 - 3x - z - y/2)]|-2^(3-3x-z)³ dx V = ∫0¹ (1/2)(-2^(3-3x-z)³ - (12 - 3x - z)^2) dx Integrando em relação a x, temos: V = [(1/2)(-2^(3-3x-z)³ - (12 - 3x - z)^2) * (1/9)]|0¹ V = (1/18)(-8 - (9-z)^2) - (1/18)(-8 - 144) Simplificando, temos: V = (1/18)(-z^2 - 6z + 95) Substituindo z = 0, temos: V = 95/2 Portanto, a alternativa correta é A) 95/2.