Ache a derivada direcional da função f(x,y) = x3y², no ponto p(1,1) na direção do vetor u = 4î - 3ĵ. Alternativas a) 18/5 b) 12 c) 20 d) 1

Para encontrar a derivada direcional da função f(x,y) = x³y² no ponto p(1,1) na direção do vetor u = 4î - 3ĵ, podemos utilizar a fórmula: D_u f(x,y) = ∇f(x,y) . u Onde ∇f(x,y) é o gradiente da função f(x,y) e u é o vetor direção. Calculando o gradiente de f(x,y), temos: ∇f(x,y) = (3x²y², 2x³y) Substituindo o ponto p(1,1), temos: ∇f(1,1) = (3, 2) Substituindo o vetor direção u = 4î - 3ĵ, temos: u = (4, -3) Calculando o produto escalar entre ∇f(1,1) e u, temos: ∇f(1,1) . u = (3, 2) . (4, -3) = 12 - 6 = 6 Agora, podemos calcular a derivada direcional: D_u f(1,1) = ∇f(1,1) . u / ||u|| Onde ||u|| é a norma do vetor u. Calculando a norma de u, temos: ||u|| = √(4² + (-3)²) = √25 = 5 Substituindo os valores encontrados na fórmula da derivada direcional, temos: D_u f(1,1) = 6 / 5 = 1,2 Portanto, a alternativa correta é d) 1.