Integração tripla Calcule a integral tripla da função f(x,y,z)=x2+y2+z2 sobre o domínio D que é a região dentro do cilindro x2+y2=1 e acima do pla...

Para calcular a integral tripla da função f(x,y,z)=x²+y²+z² sobre o domínio D que é a região dentro do cilindro x²+y²=1 e acima do plano z=0 e abaixo do plano z=2, podemos utilizar coordenadas cilíndricas. O domínio D pode ser descrito como 0 ≤ z ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π, com r variando de 0 a 1. Assim, a integral tripla pode ser escrita como: ∭(x²+y²+z²) dV = ∫₀²π ∫₀¹ ∫₀² (r²cos²θ + r²sen²θ + z²) r dz dr dθ Resolvendo as integrais, temos: ∭(x²+y²+z²) dV = ∫₀²π ∫₀¹ ∫₀² (r⁴ + z²r) dz dr dθ ∭(x²+y²+z²) dV = ∫₀²π ∫₀¹ [(8r⁴)/4 + (4r)/2] dr dθ ∭(x²+y²+z²) dV = ∫₀²π ∫₀¹ (2r⁴ + 2r) dr dθ ∭(x²+y²+z²) dV = ∫₀²π [(2/5)r⁵ + r²] from 0 to 1 dθ ∭(x²+y²+z²) dV = ∫₀²π [(2/5) + 1] dθ ∭(x²+y²+z²) dV = ∫₀²π (7/5) dθ ∭(x²+y²+z²) dV = (7/5) * [θ] from 0 to 2π ∭(x²+y²+z²) dV = (7/5) * 2π ∭(x²+y²+z²) dV = 14π/5 Portanto, a integral tripla da função f(x,y,z)=x²+y²+z² sobre o domínio D é igual a 14π/5.