Calcule a integral tripla da função f(x,y,z)=x2+y2+z2 sobre o domínio D que é a região dentro do cilindro x2+y2=1 e acima do plano z=0 e abaixo do ...

Para calcular a integral tripla da função f(x,y,z)=x²+y²+z² sobre o domínio D que é a região dentro do cilindro x²+y²=1 e acima do plano z=0 e abaixo do plano z=2, podemos utilizar coordenadas cilíndricas. Assim, temos que: - x² + y² = r² - z varia de 0 a 2 - r varia de 0 a 1 - θ varia de 0 a 2π Logo, a integral tripla fica: ∭D (x² + y² + z²) dV = ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a 1 ∫ de 0 a 2 (r² + z²) r dz dr dθ Resolvendo as integrais, temos: ∭D (x² + y² + z²) dV = ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a 1 ∫ de 0 a 2 (r² + z²) r dz dr dθ = ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a 1 [(r²z + z³)/3] de 0 a 2 dr dθ = ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a 1 (2r²/3 + 8/3) dr dθ = ∫ de 0 a 2π [(2/9 + 8/3)] dθ = ∫ de 0 a 2π (26/9) dθ = (52π/9) Portanto, a alternativa correta é a letra E: ∭D (x² + y² + z²) dV = 20/3.