Seja a função utilidade dada por U(x, y)=8x12+yU\left(x,\ y\right)=8x^{\frac{1}{2}}+y U(x, y)=8x2 1 ​ +y . Pede-se: a) As funções de demanda m...

a) As funções de demanda marshallianas e a função de utilidade indireta: Para encontrar as funções de demanda marshallianas, precisamos maximizar a utilidade sujeita ao orçamento do consumidor. O problema de otimização é dado por: Max U(x,y) sujeito a px.x + py.y = R Usando a função utilidade dada, temos: Max 8x^(1/2) + y sujeito a 2x + y = 20 Podemos resolver esse problema usando o método de Lagrange: L(x,y,λ) = 8x^(1/2) + y + λ(20 - 2x - y) Calculando as condições de primeira ordem: ∂L/∂x = 4x^(-1/2) - 2λ = 0 ∂L/∂y = 1 - λ = 0 ∂L/∂λ = 20 - 2x - y = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos: x = 5 y = 10 λ = 1 Portanto, as funções de demanda marshallianas são: x(p_x,p_y,R) = 2.5p_x y(p_x,p_y,R) = 10 - 0.5p_x A função de utilidade indireta é dada por: V(p_x,p_y,R) = U(x(p_x,p_y,R), y(p_x,p_y,R)) Substituindo as funções de demanda na função utilidade, temos: V(p_x,p_y,R) = 20p_x^(1/2) b) As funções de demanda hickisianas e a função dispêndio: Para encontrar as funções de demanda hicksianas, precisamos maximizar a utilidade sujeita a um nível de utilidade constante. O problema de otimização é dado por: Max U(x,y) sujeito a U(x,y) = U_barra Usando a função utilidade dada, temos: Max 8x^(1/2) + y sujeito a 8x^(1/2) + y = U_barra Podemos resolver esse problema usando o método de Lagrange: L(x,y,λ) = 8x^(1/2) + y + λ(8x^(1/2) + y - U_barra) Calculando as condições de primeira ordem: ∂L/∂x = 4x^(-1/2)(1 + λ) = 0 ∂L/∂y = 1 + λ = 0 ∂L/∂λ = 8x^(1/2) + y - U_barra = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos: x = (U_barra/8)^2 y = -U_barra + 8(U_barra/8)^(1/2) λ = -1 Portanto, as funções de demanda hicksianas são: x(U,p_y) = (U/8p_x^2) y(U,p_y) = U/8 - p_y/8 A função dispêndio é dada por: e(p_x,p_y,U) = p_x.x(p_x,p_y,U) + p_y.y(p_x,p_y,U) Substituindo as funções de demanda na função dispêndio, temos: e(p_x,p_y,U) = p_x(U/8p_x^2)^(1/2) + p_y(U/8 - p_y/8) c) A equação de Slutsky para o bem 1: A equação de Slutsky para o bem 1 é dada por: ∂x/∂p_x = ∂x^d/∂p_x - x(p_x,p_y) * ∂x^d/∂U Onde x^d é a demanda marshalliana pelo bem 1. Calculando as derivadas parciais, temos: ∂x^d/∂p_x = 2.5 ∂x^d/∂U = p_x/16x^(3/2) Substituindo na equação de Slutsky, temos: ∂x/∂p_x = 2.5 - (2.5p_x)/(16x^(3/2)) Substituindo as funções de demanda marshallianas, temos: ∂x/∂p_x = 2.5 - (1.25)/(p_x^(1/2)) d) Sendo R=20, px=2, py=1, determine a cesta ótima do consumidor: Substituindo os valores dados nas funções de demanda marshallianas, temos: x = 2.5(2) = 5 y = 10 - 0.5(2) = 9 Portanto, a cesta ótima do consumidor é (5,9).