Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são: A=(1,0), B=(0,1) e C=(0,sqrt3). Determine o ângulo BÂC.

Para determinar o ângulo BÂC, podemos usar a fórmula do produto escalar entre dois vetores. O ângulo θ entre dois vetores u e v é dado por cos(θ) = (u . v) / (||u|| * ||v||), onde u . v é o produto escalar e ||u|| é a magnitude do vetor u. Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e BC. AB = B - A = (0 - 1, 1 - 0) = (-1, 1) BC = C - B = (0 - 0, sqrt3 - 1) = (0, sqrt3 - 1) Agora, calculamos o produto escalar entre AB e BC: AB . BC = (-1 * 0) + (1 * (sqrt3 - 1)) = sqrt3 - 1 Em seguida, calculamos as magnitudes de AB e BC: ||AB|| = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(2) ||BC|| = sqrt(0^2 + (sqrt3 - 1)^2) = sqrt(4) = 2 Agora, podemos encontrar o cos(θ): cos(θ) = (AB . BC) / (||AB|| * ||BC||) = (sqrt3 - 1) / (sqrt(2) * 2) = (sqrt3 - 1) / (2 * sqrt(2)) Finalmente, o ângulo BÂC é dado por: ângulo BÂC = arccos((sqrt3 - 1) / (2 * sqrt(2))) Calculando o valor aproximado, temos: ângulo BÂC ≈ 30°