12. Seja f (x, y)= {x3/x2+ y2 se (x, y) ≠ (0,0), 0 se (x, y)= (0,0). (a) Mostre que f é contínua em (0,0). (b) Calcule ∂ f/∂x (0,0) e ∂ f/∂y (0,0)....

Para a função \( f(x, y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2} \) quando \( (x, y) \neq (0,0) \) e \( f(x, y) = 0 \) quando \( (x, y) = (0,0) \): (a) Para mostrar que \( f \) é contínua em \( (0,0) \), precisamos verificar se \( \lim_{{(x,y) \to (0,0)}} f(x,y) = f(0,0) \). Podemos fazer isso usando coordenadas polares. (b) Para calcular \( \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} (0,0) \), podemos usar a definição de derivada parcial. (c) Para verificar se \( f \) é diferenciável em \( (0,0) \), precisamos verificar se todas as derivadas parciais existem e são contínuas em \( (0,0) \). (d) Para verificar se \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \) são contínuas em \( (0,0) \), precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em \( (0,0) \). Espero que isso ajude!