A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a função for nessas variáveis. Resolvendo a equação diferencial exata (3x² + 2y²)dx...

Para resolver essa equação diferencial exata, precisamos verificar se ela satisfaz a condição de exatidão, que é dada pela igualdade entre as derivadas parciais da função em relação a x e y. Assim, temos: ∂(3x² + 2y²)/∂y = 4y ∂(4xy + 6y²)/∂x = 4y Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Para encontrar a função y(x), precisamos integrar a equação em relação a x, considerando y como uma constante: ∫(3x² + 2y²)dx + ∫(4xy + 6y²)dy = C Integrando a primeira parcela em relação a x, temos: x³ + 2xy² + g(y) = C Para encontrar g(y), derivamos a equação em relação a y: ∂(x³ + 2xy² + g(y))/∂y = 4xy + g'(y) Comparando com a segunda parcela da equação diferencial, temos: g'(y) = 6y² Integrando em relação a y, temos: g(y) = 2y³ + k Substituindo na equação anterior, temos: x³ + 2xy² + 2y³ + k = C Para encontrar o valor de k, usamos a condição y(1) = -2: 1³ + 2(1)(-2)² + 2(-2)³ + k = C 1 - 8 - 16 + k = C k = C + 23 Substituindo na equação anterior, temos: x³ + 2xy² + 2y³ + C + 23 = 0 Portanto, a função y(x) é dada por: y(x) = (-x³ - 2xy² - C - 23)^(1/3) Para encontrar o valor de y no ponto y(1) = -2, basta substituir x = 1 na equação acima: y(1) = (-1 - 2(-2)² - C - 23)^(1/3) = (-1 - 8 - C - 23)^(1/3) = (-32 - C)^(1/3) Como y(1) = -2, temos: (-32 - C)^(1/3) = -2 Elevando ambos os lados ao cubo, temos: -32 - C = -8 C = -24 Portanto, a função y(x) é: y(x) = (-x³ - 2xy² + 1)^(1/3) E no ponto y(1) = -2, temos: y(1) = (-1 - 2(-2)² + 1)^(1/3) = (-1 - 8 + 1)^(1/3) = -2 Logo, a resposta é -2.