começar estilo tamanho matemático 14px Resolva espaço reto a espaço equação espaço diferencial espaço parêntese esquerdo reto x ao quadrado menos 3...

A equação diferencial apresentada é: $$x^2 - 3y^2 dx + 2xy dy = 0$$ Para resolvê-la, podemos utilizar o método de fator integrante. Primeiramente, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de $M = x^2 - 3y^2$ em relação a $y$ e de $N = 2xy$ em relação a $x$: $$\frac{\partial M}{\partial y} = -6y$$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = 2y$$ Como $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$, a equação não é exata. Então, vamos encontrar o fator integrante $\mu(x,y)$ que torna a equação exata. Para isso, utilizamos a seguinte fórmula: $$\mu(x,y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} dx}$$ Substituindo os valores de $M$, $N$, $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{\partial N}{\partial x}$ na fórmula, temos: $$\mu(x,y) = e^{\int \frac{2y + 6y}{x^2 - 3y^2} dx} = e^{\int \frac{8y}{x^2 - 3y^2} dx}$$ Para encontrar a integral, fazemos a substituição $u = x^2 - 3y^2$, $du = 2xdx$: $$\int \frac{8y}{x^2 - 3y^2} dx = 4\int \frac{y}{u} du = 4y \ln|u| + C = 4y \ln|x^2 - 3y^2| + C$$ Então, o fator integrante é: $$\mu(x,y) = e^{4y \ln|x^2 - 3y^2|} = (x^2 - 3y^2)^4$$ Multiplicando a equação diferencial por $\mu(x,y)$, temos: $$(x^2 - 3y^2)^4 (x^2 - 3y^2 dx + 2xy dy) = 0$$ Que é uma equação exata. Podemos encontrar a solução integrando a equação exata: $$\int (x^2 - 3y^2)^4 dx + \int 2x y (x^2 - 3y^2)^3 dy = C$$ A solução geral da equação diferencial é dada por essa equação implícita.