Dado a função de transferência 5 ( ) ( 2) = + G s s s . Projetar um compensador Gc(s) para que o sistema tenha um erro estacionário com uma entrada...

Para projetar um compensador Gc(s) para que o sistema tenha um erro estacionário com uma entrada em rampa unitária de 0,05s, sem alterar significativamente a resposta transitória, podemos utilizar o método de avanço de fase. Primeiramente, precisamos calcular o erro estacionário do sistema não compensado para uma entrada em rampa unitária. Sabemos que o erro estacionário para uma entrada em rampa unitária é dado por: ess = lim s->0 [s*R(s)] Onde R(s) é a transformada de Laplace da entrada em rampa unitária. Portanto: R(s) = 1/s^2 Assim, temos: ess = lim s->0 [s*G(s)*R(s)] = lim s->0 [s*5/(s^3 + 2s)] = lim s->0 [5/(3s^2)] = infinito Ou seja, o sistema não compensado apresenta um erro estacionário infinito para uma entrada em rampa unitária. Para corrigir esse erro, podemos adicionar um compensador Gc(s) do tipo avanço de fase, que é dado por: Gc(s) = K*(T*s + 1)/(a*T*s + 1) Onde K é o ganho do compensador, T é a constante de tempo e a é o fator de amortecimento. Para projetar o compensador, podemos seguir os seguintes passos: 1. Escolher o valor de a. Recomenda-se escolher a = 0,7 para garantir estabilidade e bom desempenho. 2. Escolher o valor de T. Para corrigir o erro estacionário, podemos utilizar a fórmula: T = 1/(0,05*sqrt(a)) Substituindo a = 0,7, temos: T = 0,4 3. Calcular o ganho K. Para garantir que a resposta transitória não seja significativamente alterada, podemos utilizar a fórmula: K = 1/|G(jw)*Gc(jw)| Onde w é a frequência de crossover desejada. Como queremos manter a resposta transitória, podemos escolher w = 10 rad/s, que é uma frequência alta o suficiente para não afetar a resposta transitória. Substituindo, temos: K = 1/|5*j10/(10^2 + j20) * K*(0,4*j10 + 1)/(0,7*0,4*j10 + 1)| = 1/|0,5j + 0,28K| Para garantir que o ganho seja positivo, podemos escolher K = 2. Assim, temos: K = 2 Gc(s) = 0,8*(s + 2)/(0,28*s + 1) Com o compensador projetado, podemos calcular a nova função de transferência do sistema compensado: Gc(s)*G(s) = 0,8*(s + 2)/(0,28*s + 1) * 5/(s^3 + 2s) = 4*(s + 2)/(s^3 + 0,28s^2 + 2s) Podemos verificar que o erro estacionário do sistema compensado para uma entrada em rampa unitária é dado por: ess = lim s->0 [s*Gc(s)*G(s)*R(s)] = lim s->0 [4*(s + 2)/(s^3 + 0,28s^2 + 2s)*1/s^2] = 0 Ou seja, o sistema compensado apresenta um erro estacionário nulo para uma entrada em rampa unitária. Por fim, podemos comparar as respostas ao degrau unitário e a rampa unitária do sistema não compensado com a do sistema compensado. As respostas ao degrau unitário são dadas por: y(s) = G(s)*U(s)/(1 + G(s)*U(s)) y_c(s) = Gc(s)*G(s)*U(s)/(1 + Gc(s)*G(s)*U(s)) Onde U(s) é a transformada de Laplace do degrau unitário. As respostas à rampa unitária são dadas por: y(s) = G(s)*R(s)/(1 + G(s)*R(s)) y_c(s) = Gc(s)*G(s)*R(s)/(1 + Gc(s)*G(s)*R(s)) Onde R(s) é a transformada de Laplace da rampa unitária. As respostas no domínio do tempo podem ser obtidas por meio da transformada inversa de Laplace.