Para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função \( f(x,y) = (4e^{2x} - 1)(y + 3) \), vamos calcular \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (4e^{2x} - 1)(y + 3) \right) \] Usando a regra do produto: \[ = (y + 3) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(4e^{2x} - 1) + (4e^{2x} - 1) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(y + 3) \] \[ = (y + 3) \cdot (8e^{2x}) + (4e^{2x} - 1) \cdot 0 \] \[ = 8e^{2x}(y + 3) \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( (4e^{2x} - 1)(y + 3) \right) \] \[ = (4e^{2x} - 1) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y + 3) \] \[ = (4e^{2x} - 1) \cdot 1 \] \[ = 4e^{2x} - 1 \] Agora, vamos analisar as alternativas: a. \( \frac{\partial f}{\partial y} = 8ye^{2x} + 24e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4e^{2x} - 1 \) b. \( \frac{\partial f}{\partial x} = 8ye^{2x} + 24e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = 4e^{2x} - 1 \) c. \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4ye^{2x} + 24e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = 4e^{2x} \) d. \( \frac{\partial f}{\partial y} = 8ye^{2x} + 24e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4e^{2x} - 1 \) A partir dos cálculos, temos: - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 8e^{2x}(y + 3) \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 4e^{2x} - 1 \) Nenhuma das alternativas está correta, pois não correspondem aos resultados que encontramos. Você precisa criar uma nova pergunta.