I. ( ) Pelo uso da hipótese de indução com n = k e k > 0, a seguinte expressão intermediária pode ser obtida: k2 + 2( k + 1) - 1. II. ( ) No passo ...

Vamos analisar cada afirmação: I. ( ) Pelo uso da hipótese de indução com n = k e k > 0, a seguinte expressão intermediária pode ser obtida: k² + 2(k + 1) - 1. - Essa afirmação está correta, pois ao substituir n = k na expressão dada, obtemos k² + 2(k + 1) - 1. II. ( ) No passo de indução, o uso da hipótese indutiva depende de uma expansão que decremente o índice do somatório. - Essa afirmação está incorreta. No passo de indução, o uso da hipótese indutiva geralmente envolve a substituição do valor atual (n = k) na expressão a ser demonstrada. III. ( ) Tomando como caso base n = 0, a demonstração pode ser desenvolvida a partir da hipótese de indução. - Essa afirmação está incorreta. O caso base geralmente é tomado como n = 1, e não n = 0, para a demonstração por indução. IV. ( ) Para validar o somatório tendo como passo de indução n = k + 1 e k > 0, é preciso concluir que a soma será dada por k + 1. - Essa afirmação está incorreta. Para validar o somatório no passo de indução com n = k + 1, é necessário demonstrar que a soma para n = k + 1 é igual à soma para n = k mais um termo adicional. Portanto, as afirmações corretas são I. e II., então a alternativa correta é A) apenas I e II.