Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, 21).

Para calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Primeiro, encontramos o ponto médio entre os pontos A e B, que será o ponto M. Em seguida, calculamos a distância entre os pontos A e M para obter o comprimento da mediana. O ponto médio M é dado por: \[ M\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right) \] Substituindo os valores, temos: \[ M\left(\frac{{0 + 3}}{2}, \frac{{0 + 7}}{2}\right) \] \[ M\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right) \] Agora, calculamos a distância entre os pontos A e M: \[ d_{AM} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] \[ d_{AM} = \sqrt{(\frac{3}{2} - 0)^2 + (\frac{7}{2} - 0)^2} \] \[ d_{AM} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{7}{2})^2} \] \[ d_{AM} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{49}{4}} \] \[ d_{AM} = \sqrt{\frac{58}{4}} \] \[ d_{AM} = \sqrt{\frac{29}{2}} \] Portanto, o comprimento da mediana AM do triângulo ABC é \( \sqrt{\frac{29}{2}} \) unidades.