Seja o campo vetorial F(X,Y,Z)=Y^2 Z^3 i+2xyz^3 j+3xy²z²k. Considerando esse campo vetorial e aspectos relacionados aos campos vetoriais, analise o...

Para analisar as afirmações sobre o campo vetorial \( F(X,Y,Z)=Y^2 Z^3 i+2xyz^3 j+3xy²z²k \): I. O divergente desse campo é zero: Para calcular o divergente de um campo vetorial, é necessário aplicar o operador nabla (∇) ao campo vetorial e realizar o produto escalar com o campo. Neste caso, o divergente de F é \( ∇ ⋅ F = ∂(Y^2 Z^3)/∂X + ∂(2xyz^3)/∂Y + ∂(3xy²z²)/∂Z \). Se calcularmos essas derivadas parciais, veremos que o divergente não é zero. Portanto, a afirmação I está incorreta. II. O rotacional desse campo é o vetor nulo: Para calcular o rotacional de um campo vetorial, é necessário aplicar o operador nabla cruz (∇ x) ao campo vetorial. Neste caso, o rotacional de F é \( ∇ x F = (∂(3xy²z²)/∂Y - ∂(2xyz^3)/∂Z)i + (∂(Y^2 Z^3)/∂Z - ∂(3xy²z²)/∂X)j + (∂(2xyz^3)/∂X - ∂(Y^2 Z^3)/∂Y)k \). Se calcularmos essas derivadas parciais, veremos que o rotacional não é o vetor nulo. Portanto, a afirmação II está incorreta. III. Esse campo é conservativo, pois o seu divergente é igual a zero: Como vimos na análise da afirmação I, o divergente desse campo não é zero. Portanto, a afirmação III também está incorreta. Dessa forma, nenhuma das afirmações está correta em relação ao campo vetorial dado.