Determine os pontos de máximo e mínimo locais da função f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a menos x ao cubo mais 6 x ao quadrado menos...

Para determinar os pontos de máximo e mínimo locais da função \( f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1 \), primeiro precisamos encontrar os pontos críticos. Para isso, calculamos a derivada da função e igualamos a zero: \( f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 \) Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação: \( -3x^2 + 12x - 9 = 0 \) Dividindo toda a equação por -3 para simplificar: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) Agora, fatoramos a equação: \( (x - 1)(x - 3) = 0 \) Assim, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). Para determinar se são pontos de máximo ou mínimo, podemos usar o teste da derivada segunda. Calculando a derivada segunda da função: \( f''(x) = -6x + 12 \) Agora, avaliamos a concavidade da função nos pontos críticos: - Para \( x = 1 \): \( f''(1) = -6(1) + 12 = 6 \) - A concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima, indicando um ponto de mínimo local em \( x = 1 \). - Para \( x = 3 \): \( f''(3) = -6(3) + 12 = -6 \) - A concavidade muda de côncava para cima para côncava para baixo, indicando um ponto de máximo local em \( x = 3 \). Portanto, a resposta correta é: D) Mínimo local em \( x = 1 \) e máximo local em \( x = 3 \)