Dada a função f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 2 x ao cubo menos 9 x ao quadrado mais 12 x menos 17, é solicitado encontrar os pont...

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 17 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Derivar a função para encontrar a primeira derivada. \( f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 \) 2. Igualar a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos. \( 6x^2 - 18x + 12 = 0 \) \( 2x^2 - 6x + 4 = 0 \) \( 2(x^2 - 3x + 2) = 0 \) \( 2(x - 1)(x - 2) = 0 \) \( x = 1 \) ou \( x = 2 \) 3. Determinar a concavidade da função nos pontos críticos: Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada. Vamos derivar a função \( f'(x) \) para encontrar a segunda derivada. \( f''(x) = 12x - 18 \) 4. Avaliar a concavidade nos pontos críticos: - Para \( x = 1 \): \( f''(1) = 12(1) - 18 = -6 \) (Concavidade negativa, ponto de máximo local) - Para \( x = 2 \): \( f''(2) = 12(2) - 18 = 6 \) (Concavidade positiva, ponto de mínimo local) Portanto, a alternativa correta é: D) Máximo local em \( x = 1 \) e mínimo local em \( x = 2 \)