O cálculo diferencial e integral é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da álgebra e geometria, dedicando-se ao estudo de taxas ...

Para encontrar o volume do sólido de revolução gerado pela região delimitada pelas curvas \(y = \frac{1}{4}x^2\) e \(y = 0\) entre \(x = 1\) e \(x = 4\), podemos usar o método do disco ou do anel. Calculando a integral definida de \(\pi \cdot [f(x)]^2\) de 1 a 4, onde \(f(x) = \frac{1}{4}x^2\), obtemos: \[ V_x = \pi \int_{1}^{4} \left(\frac{1}{4}x^2\right)^2 dx \] \[ V_x = \pi \int_{1}^{4} \frac{1}{16}x^4 dx \] \[ V_x = \pi \left[\frac{1}{80}x^5\right]_{1}^{4} \] \[ V_x = \pi \left(\frac{1}{80} \cdot 4^5 - \frac{1}{80} \cdot 1^5\right) \] \[ V_x = \pi \left(\frac{1024}{80} - \frac{1}{80}\right) \] \[ V_x = \pi \left(\frac{1023}{80}\right) \] \[ V_x = \frac{1023\pi}{80} \] Portanto, a alternativa correta é: B) \(V_x = \left(\frac{1023}{80}\right) \pi\)