determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 senx2 tendo como limites de integração y3 =x, y3 = -x, x =8 e x =0

Para determinar a integral dupla da função \( f(x,y) = y^2 \cdot \sin(x^2) \) com os limites de integração \( y = x, y = -x, x = 8 \) e \( x = 0 \), você precisa integrar primeiro em relação a \( y \) e depois em relação a \( x \). A integral dupla de \( f(x,y) \) com esses limites de integração será: \[ \int_{0}^{8} \int_{-x}^{x} y^2 \cdot \sin(x^2) \, dy \, dx \] Primeiro, integramos em relação a \( y \): \[ \int_{-x}^{x} y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} \Bigg|_{-x}^{x} = \frac{x^3 - (-x)^3}{3} = \frac{2x^3}{3} \] Agora, substituímos na integral dupla: \[ \int_{0}^{8} \frac{2x^3}{3} \cdot \sin(x^2) \, dx \] Integrando em relação a \( x \): \[ \int_{0}^{8} \frac{2x^3}{3} \cdot \sin(x^2) \, dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{8} x^3 \cdot \sin(x^2) \, dx \] Essa integral não pode ser resolvida de forma simples e direta, pois envolve uma função seno de um termo quadrático. Portanto, a resposta final é a integral acima, e não é possível simplificar mais sem o uso de métodos numéricos ou aproximados.