Determine uma base V = {(x,y,z) ∈R3 |y-2z=0}, que é um subespaço de R3 a. {(1,0,0),(0,2,1)} b. {(0,0,0)(1,1,1)} c. {(1,0,1),(1,2,0)} d. ...

Para determinar uma base para o subespaço \( V = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ y - 2z = 0\} \), precisamos encontrar vetores que satisfaçam a equação \( y - 2z = 0 \). Analisando as opções: a. \( \{(1, 0, 0), (0, 2, 1)\} \): O segundo vetor não satisfaz a equação, então não forma uma base. b. \( \{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\} \): O primeiro vetor não é válido, pois o vetor nulo não pode fazer parte de uma base. c. \( \{(1, 0, 1), (1, 2, 0)\} \): Ambos os vetores satisfazem a equação, mas precisamos verificar se são linearmente independentes para formar uma base. Para verificar a linear independência, podemos montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base. Caso contrário, não formam. Calculando o determinante da matriz formada pelos vetores \( (1, 0, 1) \) e \( (1, 2, 0) \): \[ \text{det}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = (1*2 - 1*0) = 2 \neq 0 \] Portanto, os vetores \( (1, 0, 1) \) e \( (1, 2, 0) \) são linearmente independentes e formam uma base para o subespaço \( V \). A alternativa correta é a letra c.