Determine a transformada de Laplace inversa da seguinte função: J(s) 12/(s+2)ˆ2(s+4)

Para determinar a transformada de Laplace inversa da função \( J(s) = \frac{12}{(s+2)^2(s+4)} \), podemos usar a técnica de frações parciais. 1. Decomposição em frações parciais: \[ \frac{12}{(s+2)^2(s+4)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{(s+2)^2} + \frac{C}{s+4} \] Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora \((s+2)^2(s+4)\) e igualando os coeficientes, encontramos \(A\), \(B\) e \(C\). 2. Encontrando os coeficientes: - Para \(s = -2\): \[ 12 = B \cdot 0 + C \cdot 2 \implies C = 6 \] - Para \(s = -4\): \[ 12 = A \cdot (-2) + B \cdot 4 + 0 \implies -2A + 4B = 12 \] - Para \(s = 0\): \[ 12 = A \cdot 2 + B \cdot 4 + C \cdot 6 \implies 2A + 4B + 6 = 12 \] Resolvendo o sistema, encontramos \(A = 0\), \(B = 3\) e \(C = 6\). 3. Reescrevendo a função: \[ J(s) = \frac{3}{(s+2)^2} + \frac{6}{s+4} \] 4. Transformada de Laplace inversa: - A transformada de Laplace inversa de \(\frac{3}{(s+2)^2}\) é \(3t e^{-2t}\). - A transformada de Laplace inversa de \(\frac{6}{s+4}\) é \(6e^{-4t}\). 5. Resultado final: \[ j(t) = 3t e^{-2t} + 6e^{-4t} \] Portanto, a transformada de Laplace inversa de \( J(s) \) é \( j(t) = 3t e^{-2t} + 6e^{-4t} \).