Dados os vetores u=(1,-2,4) e v=(3,5,1), o ângulo θ entre u e v é:

Para encontrar o ângulo \( \theta \) entre os vetores \( \mathbf{u} = (1, -2, 4) \) e \( \mathbf{v} = (3, 5, 1) \), usamos a fórmula do cosseno do ângulo: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{||\mathbf{u}|| \cdot ||\mathbf{v}||} \] 1. Calcular o produto escalar \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \): \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 5 + 4 \cdot 1 = 3 - 10 + 4 = -3 \] 2. Calcular as normas \( ||\mathbf{u}|| \) e \( ||\mathbf{v}|| \): \[ ||\mathbf{u}|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21} \] \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 25 + 1} = \sqrt{35} \] 3. Substituir na fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{-3}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{35}} \] 4. Calcular \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-3}{\sqrt{21 \cdot 35}}\right) \] Agora, você pode calcular o valor numérico de \( \theta \) usando uma calculadora.