Para identificar uma série trigonométrica par, precisamos lembrar que uma função é par se \( f(-x) = f(x) \). No contexto de séries trigonométricas, isso geralmente se refere a termos que envolvem funções trigonométricas que são pares, como o cosseno. Vamos analisar as alternativas: a) \( \sum_{n=0}^{\infty} [(n+1) \cos(nx) + 3n \sin(nx)] \) - Esta série contém o seno, que é uma função ímpar, portanto não é par. b) \( \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{1}{n(x+1)}\right] \) - Não é uma série trigonométrica. c) \( \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{1}{n^2 \cos(nx) - 1 n \sin(nx)}\right] \) - Contém o seno, que é ímpar, portanto não é par. d) \( \sum_{n=0}^{\infty} [n^2 \cos(nx)] \) - Esta série contém apenas o cosseno, que é uma função par. e) \( \sum_{n=0}^{\infty} [(n+1) \sin(nx)] \) - Contém o seno, que é ímpar, portanto não é par. A única alternativa que apresenta uma série trigonométrica par é a d) \( \sum_{n=0}^{\infty} [n^2 \cos(nx)] \).

Vamos analisar cada alternativa para identificar a série trigonométrica par: a) ∞0[(n+1)cóé(nx)+3néen(nx)]Σ0∞[(????+1)????????????(????????)+3????????????????(????????)] - Esta alternativa não parece representar uma série trigonométrica par, pois envolve termos com seno e exponencial. b) Σ∞0[1n(x+1)]Σ0∞[1????(????+1)] - Esta alternativa não representa uma série trigonométrica par, pois não envolve funções trigonométricas. c) Σ∞0[1n2cóé(nx)-1néen(nx)]Σ0∞[1????2????????????(????????)−1????????????????(????????)] - Esta alternativa também não representa uma série trigonométrica par, pois envolve termos com seno e exponencial. d) Σ∞0[n2cóé(nx)]Σ0∞[????2????????????⁡(????????)] - Esta alternativa parece representar uma série trigonométrica par, pois envolve apenas cosseno elevado ao quadrado. e) Σ∞0[(n+1)éen(nx)] - Esta alternativa não representa uma série trigonométrica par, pois envolve uma exponencial. Portanto, a alternativa que apresenta uma série trigonométrica par é a letra d) Σ∞0[n2cóé(nx)]Σ0∞[????2????????????⁡(????????)].