Para encontrar a equação da parábola e da reta diretriz, vamos analisar as informações dadas. 1. Vértice: O vértice \( V \) está na origem \((0, 0)\). 2. Reta focal: A reta focal passa pelo eixo \( O - Y \) e pelo ponto \((4, -2)\). Isso indica que a parábola é vertical e a reta focal está na direção do eixo \( Y \). A distância do vértice até a reta focal é \( p \), e a reta diretriz estará a uma distância \( p \) do vértice, mas na direção oposta. 3. Encontrando \( p \): A reta focal passa pelo ponto \((4, -2)\). A distância do vértice até a reta focal é a distância do ponto \((0, 0)\) até \((4, -2)\): \[ p = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] 4. Equação da parábola: A equação da parábola com vértice na origem e que abre para cima é dada por: \[ x^2 = 4py \] Substituindo \( p = 2\sqrt{5} \): \[ x^2 = 4(2\sqrt{5})y \implies x^2 = 8\sqrt{5}y \] 5. Equação da reta diretriz: A reta diretriz estará a uma distância \( p \) acima do vértice, ou seja, em \( y = -p \): \[ y = -2\sqrt{5} \] Portanto, a equação da parábola é \( x^2 = 8\sqrt{5}y \) e a equação da reta diretriz é \( y = -2\sqrt{5} \).