Para encontrar o coeficiente independente de \( x \) no desenvolvimento da expressão \( (x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}})^9 (x^2 + \frac{1}{x})^9 \), precisamos analisar cada parte separadamente. 1. Desenvolvendo \( (x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}})^9 \): - O termo geral da expansão é dado por \( \binom{9}{k} (x^2)^{9-k} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^k \). - Isso se simplifica para \( \binom{9}{k} x^{2(9-k) - \frac{k}{2}} = \binom{9}{k} x^{18 - 2k - \frac{k}{2}} = \binom{9}{k} x^{18 - \frac{5k}{2}} \). - Para que o expoente de \( x \) seja zero, precisamos resolver \( 18 - \frac{5k}{2} = 0 \), o que dá \( k = \frac{36}{5} \), que não é um inteiro. Portanto, não há termo independente aqui. 2. Desenvolvendo \( (x^2 + \frac{1}{x})^9 \): - O termo geral é \( \binom{9}{m} (x^2)^{9-m} \left(\frac{1}{x}\right)^m \). - Isso se simplifica para \( \binom{9}{m} x^{2(9-m) - m} = \binom{9}{m} x^{18 - 3m} \). - Para que o expoente de \( x \) seja zero, precisamos resolver \( 18 - 3m = 0 \), o que dá \( m = 6 \). - O coeficiente correspondente é \( \binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84 \). 3. Multiplicando os coeficientes: - Como não há termo independente do primeiro fator, o coeficiente independente total da expressão é \( 0 \). Portanto, parece que houve um erro na interpretação da questão, pois não encontramos um coeficiente independente. Se a questão estiver correta, a resposta deve ser revisada. Se precisar de mais ajuda, você terá que criar uma nova pergunta.