Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada: \[ \frac{dy}{dt} + \frac{2}{3}y = 1 - \frac{1}{2}t \] podemos usar o método do fator integrante. O fator integrante \( \mu(t) \) é dado por: \[ \mu(t) = e^{\int \frac{2}{3} dt} = e^{\frac{2}{3}t} \] Multiplicando a EDO pelo fator integrante, obtemos: \[ e^{\frac{2}{3}t} \frac{dy}{dt} + \frac{2}{3} e^{\frac{2}{3}t} y = e^{\frac{2}{3}t} \left(1 - \frac{1}{2}t\right) \] A equação se torna: \[ \frac{d}{dt} \left( e^{\frac{2}{3}t} y \right) = e^{\frac{2}{3}t} - \frac{1}{2} t e^{\frac{2}{3}t} \] Integrando ambos os lados, obtemos a solução geral. Após encontrar a solução, aplicamos a condição inicial \( y(0) = y_0 \) para determinar \( y_0 \). Para que a solução toque, mas não cruze o eixo \( t \), precisamos que a solução tenha uma raiz dupla. Isso ocorre quando a derivada da solução em relação a \( t \) é zero no ponto onde a solução é zero. Portanto, você deve encontrar o valor de \( y_0 \) que satisfaz essa condição. Isso geralmente envolve calcular a solução e, em seguida, determinar onde a função e sua derivada se igualam a zero. Se precisar de mais detalhes sobre a resolução, estou aqui para ajudar!