Grátis: 27. Qual é a derivada de \( \ln(x^2 + 1) \)? a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) b) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) c) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) d) \( \frac{2}{x^2...

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27. Qual é a derivada de \( \ln(x^2 + 1) \)?

a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
b) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)
c) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
d) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)

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Para encontrar a derivada de \( \ln(x^2 + 1) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada da função natural \( \ln(u) \) é \( \frac{u'}{u} \), onde \( u \) é a função interna. Neste caso, a função interna é \( u = x^2 + 1 \). A derivada de \( u \) em relação a \( x \) é \( u' = 2x \). Aplicando a regra da cadeia, temos que a derivada de \( \ln(x^2 + 1) \) é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)

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24. Qual é a série de Fourier de f(x) = x em [-π, π]?

a) \( \frac{2}{\pi} x \)
b) \( \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n} \)
c) \( \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n} \)
d) \( \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n} \)

25. Qual é a solução para a equação \( \frac{d^2y}{dx^2} = -y \)?

a) \( y = A \cos(x) + B \sin(x) \)
b) \( y = A e^x + B e^{-x} \)
c) \( y = A \cosh(x) + B \sinh(x) \)
d) \( y = A \sin(x) + B \cos(x) \)

28. Qual é o valor de \( \int \sin^2(x) \, dx \)?

a) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \)
b) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \)
c) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(x)}{4} + C \)
d) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(x)}{4} + C \)

29. Qual é o resultado da soma infinita \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)?

a) 2
b) 1
c) 3
d) \( \frac{1}{2} \)

30. Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2 + 1} \)?

a) \( \frac{\pi}{4} \)
b) \( \frac{\pi}{2} \)
c) 1
d) \( \frac{\pi}{6} \)

31. Qual é a transformada de Laplace de \( t^n \)?

a) \( \frac{n!}{s^{n+1}} \)
b) \( \frac{n!}{s^n} \)
c) \( \frac{n}{s^{n+1}} \)
d) \( \frac{n}{s^n} \)

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