Para encontrar a derivada da função \( \ln(x^2 + 1) \cdot \sin(x) \), é necessário aplicar a regra do produto da derivada. Vamos derivar primeiro \( \ln(x^2 + 1) \) e depois \( \sin(x) \), e então multiplicar os resultados. A derivada de \( \ln(x^2 + 1) \) em relação a \( x \) é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). A derivada de \( \sin(x) \) em relação a \( x \) é \( \cos(x) \). Agora, multiplicando os resultados das derivadas, obtemos: \( \frac{2x}{x^2 + 1} \cdot \sin(x) + \ln(x^2 + 1) \cdot \cos(x) \). Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{2x \sin(x)}{x^2 + 1} + \ln(x^2 + 1) \cos(x) \).