Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição trigonométrica \( x = \sin(u) \), então \( dx = \cos(u) du \) e \( \sqrt{1 - x^2} = \cos(u) \). Substituindo na integral dada, temos: \[ \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{1 - x^2}} = \int \frac{\cos(u) du}{\sin^2(u) \cos(u)} = \int \frac{du}{\sin(u)} = \int \csc(u) du = -\ln|\csc(u) + \cot(u)| + C \] Agora, precisamos voltar para a variável original \( x \). Lembrando que \( \csc(u) = \frac{1}{\sin(u)} \) e \( \cot(u) = \frac{\cos(u)}{\sin(u)} \), podemos substituir de volta \( u = \arcsin(x) \): \[ -\ln|\csc(\arcsin(x)) + \cot(\arcsin(x))| + C \] Simplificando mais, sabemos que \( \csc(\arcsin(x)) = \frac{1}{\sin(\arcsin(x))} = \frac{1}{x} \) e \( \cot(\arcsin(x)) = \frac{\cos(\arcsin(x))}{\sin(\arcsin(x))} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \): \[ -\ln\left|\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right| + C = -\ln\left|\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right| + C = -\ln\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) + C \] Portanto, a resposta correta é: \( -\ln\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) + C \).