Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{1} x \ln(x) \, dx \)? a) \( -\frac{1}{4} \) b) \( -\frac{1}{3} \) c) \( -\frac{1}{2} \) d) \( -\frac{1}{6} \)

Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes. Vamos considerar \( u = \ln(x) \) e \( dv = x \, dx \), então \( du = \frac{1}{x} \, dx \) e \( v = \frac{1}{2}x^2 \). Aplicando a fórmula de integração por partes \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \), temos: \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx \] \[ = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \frac{1}{4}x^2 \] Agora, vamos avaliar a integral no intervalo de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \int_{0}^{1} x \ln(x) \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \frac{1}{4}x^2 \right]_{0}^{1} \] \[ = \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \ln(1) - \frac{1}{4} \cdot 1^2 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0^2 \cdot \ln(0) - \frac{1}{4} \cdot 0^2 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4} \right) - \left( 0 - 0 \right) \] \[ = -\frac{1}{4} \] Portanto, o valor da integral \( \int_{0}^{1} x \ln(x) \, dx \) é \( -\frac{1}{4} \), correspondente à alternativa a).