**13.** Qual é o valor da soma \(1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{n-1}\)? a) \(2^n\) b) \(2^n - 1\) c) \(2^{n+1} - 1\) d) \(2^{n+1}\)

Para encontrar o valor da soma \(1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{n-1}\), podemos observar que cada termo é uma potência de 2. Podemos reescrever essa soma da seguinte forma: \(1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{n-1} = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{n-1}\) Essa é uma soma de uma progressão geométrica, onde a razão é 2 e o primeiro termo é \(2^0 = 1\). A fórmula para a soma de uma progressão geométrica finita é dada por: \(S_n = a_1 \times \frac{{r^n - 1}}{{r - 1}}\) Onde: \(S_n\) é a soma dos \(n\) primeiros termos, \(a_1\) é o primeiro termo da sequência, \(r\) é a razão da sequência. Substituindo na fórmula, temos: \(S_n = 1 \times \frac{{2^n - 1}}{{2 - 1}} = 2^n - 1\) Portanto, o valor da soma é \(2^n - 1\), que corresponde à alternativa b).