Para encontrar a derivada de \( x \ln(x) \), podemos usar a regra do produto da diferenciação, que diz que a derivada do produto de duas funções é dada por \( (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' \). Neste caso, temos \( f(x) = x \) e \( g(x) = \ln(x) \). Então, aplicando a regra do produto, temos: \[ \frac{d}{dx} \left( x \ln(x) \right) = x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) + \ln(x) \cdot \frac{d}{dx}(x) \] A derivada de \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \) e a derivada de \( x \) é 1. Substituindo na fórmula acima, obtemos: \[ \frac{d}{dx} \left( x \ln(x) \right) = x \cdot \frac{1}{x} + \ln(x) \cdot 1 = 1 + \ln(x) \] Portanto, o valor da derivada de \( x \ln(x) \) é \( 1 + \ln(x) \), que corresponde à alternativa a) \( \ln(x) + 1 \).