subimos juntos matematica LIII

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d) \( \frac{e}{2} \) 
 Resposta: a) \( e \). Explicação: Esta é a série de Taylor para \( e^x \) com \( x = 1 \). 
 
32. Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( x \ln(x) \right) \)? 
 a) \( \ln(x) + 1 \) 
 b) \( \ln(x) \) 
 c) \( \ln(x) - 1 \) 
 d) \( \ln(x) \cdot x \) 
 Resposta: a) \( \ln(x) + 1 \). Explicação: Usando a regra do produto e a derivada de \( \ln(x) \). 
 
33. Qual é o menor número de bits necessários para representar o número 255 em binário? 
 a) 8 
 b) 7 
 c) 9 
 d) 6 
 Resposta: a) 8. Explicação: 255 é \( 11111111_2 \) em binário, que precisa de 8 bits. 
 
34. Qual é o valor da soma \( \sum_{k=1}^n \frac{k}{k+1} \)? 
 a) \( n - \frac{n}{n+1} \) 
 b) \( n - 1 \) 
 c) \( \frac{n(n+1)}{2} \) 
 d) \( n \) 
 Resposta: a) \( n - \frac{n}{n+1} \). Explicação: Usando decomposição em frações parciais e 
simplificação. 
 
35. Qual é o valor de \( \sqrt{2 + 2\cos(\theta)} \)? 
 a) \( 2 \cos(\frac{\theta}{2}) \) 
 b) \( 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \) 
 c) \( \cos(\theta) \) 
 d) \( \sin(\theta) \) 
 Resposta: a) \( 2 \cos(\frac{\theta}{2}) \). Explicação: Usando a identidade trigonométrica \( 
\cos(\theta) = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1 \). 
 
36. Qual é o valor de \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \pi \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - 
\cos(2x)}{2} \). 
 
37. Qual é a solução da equação \( e^x = 5 \)? 
 a) \( x = \ln(5) \) 
 b) \( x = e^5 \) 
 c) \( x = \frac{5}{e} \) 
 d) \( x = 5 \ln(e) \) 
 Resposta: a) \( x = \ln(5) \). Explicação: Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da 
equação. 
 
38. Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \)? 
 a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( -\frac{1}{x} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \). Explicação: A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} 
\). 
 
39. Qual é o valor da integral \( \int_0^\pi \cos^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \pi \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + 
\cos(2x)}{2} \). 
 
40. Qual é o valor da série \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \)? 
 a) \( e^{-1} \) 
 b) \( e \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( -e^{-1} \) 
 Resposta: a) \( e^{-1} \). Explicação: Esta é a série de Taylor para \( e^{-x} \) com \( x = 1 \). 
 
41. Qual é o valor de \( \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \) em fração simplificada? 
 a) \( \frac{5}{6} \) 
 b) \( \frac{2}{5} \) 
 c) \( \frac{7}{12} \) 
 d) \( \frac{3}{5} \) 
 Resposta: a) \( \frac{5}{6} \). Explicação: Encontrando o mínimo múltiplo comum e somando. 
 
42. Qual é o valor da integral \( \int_0^1 e^{x^2} \, dx \)? 
 a) Não tem solução fechada 
 b) 1 
 c) \( e - 1 \) 
 d) \( e \) 
 Resposta: a) Não tem solução fechada. Explicação: A integral de \( e^{x^2} \) não pode ser 
expressa em termos de funções elementares. 
 
43. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 Resposta: a) 0. Explicação: Conforme \( x \) tende ao infinito, \( \frac{1}{x} \) tende a 0. 
 
44. Qual é o valor da série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \)?