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Qual é o valor de \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \)?
a) \( \frac{\pi}{2} \)
b) \( \frac{\pi}{4} \)
c) \( \pi \)
d) \( \frac{\pi}{6} \)
Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \).
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subimos juntos matematica LIII
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Para resolver a integral \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \), podemos usar a identidade trigonométrica \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). Assim, a integral se torna: \[ \int_0^\pi \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \] Integrando termo a termo, obtemos: \[ \frac{1}{2} \int_0^\pi 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos(2x) \, dx \] \[ = \frac{1}{2} [x]_0^\pi - \frac{1}{2} [\frac{\sin(2x)}{2}]_0^\pi \] \[ = \frac{1}{2} [\pi - 0] - \frac{1}{2} [\frac{\sin(2\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2}] \] \[ = \frac{1}{2} \pi - \frac{1}{2} [0 - 0] \] \[ = \frac{1}{2} \pi \] Portanto, o valor da integral \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \) é \( \frac{\pi}{2} \). Assim, a alternativa correta é a) \( \frac{\pi}{2} \).

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Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( x \ln(x) \right) \)?
a) \( \ln(x) + 1 \)
b) \( \ln(x) \)
c) \( \ln(x) - 1 \)
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a) \( \ln(x) + 1 \). Explicação: Usando a regra do produto e a derivada de \( \ln(x) \).

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a) \( n - \frac{n}{n+1} \)
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Qual é o valor de \( \sqrt{2 + 2\cos(\theta)} \)?
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b) \( 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \)
c) \( \cos(\theta) \)
d) \( \sin(\theta) \)
Resposta: a) \( 2 \cos(\frac{\theta}{2}) \). Explicação: Usando a identidade trigonométrica \( \cos(\theta) = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1 \).

Qual é a solução da equação \( e^x = 5 \)?
a) \( x = \ln(5) \)
b) \( x = e^5 \)
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d) \( x = 5 \ln(e) \)
Resposta: a) \( x = \ln(5) \). Explicação: Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação.

Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \)?
a) \( -\frac{1}{x^2} \)
b) \( \frac{1}{x^2} \)
c) \( -\frac{1}{x} \)
d) \( \frac{1}{x} \)
Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \). Explicação: A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \).

Qual é o valor da integral \( \int_0^\pi \cos^2(x) \, dx \)?
a) \( \frac{\pi}{2} \)
b) \( \frac{\pi}{4} \)
c) \( \pi \)
d) \( \frac{\pi}{6} \)
Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \).

Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)?
a) 0
b) 1
c) \( \infty \)
d) Não existe
Resposta: a) 0. Explicação: Conforme \( x \) tende ao infinito, \( \frac{1}{x} \) tende a 0.

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