Grátis: Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)? a) 0 b) 1 c) \( \infty \) d) Não existe Resposta: a) 0. Explicação: Conforme \( x \) tende...

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Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)?
a) 0
b) 1
c) \( \infty \)
d) Não existe
Resposta: a) 0. Explicação: Conforme \( x \) tende ao infinito, \( \frac{1}{x} \) tende a 0.

Desafios Para o Conhecimento

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subimos juntos matematica LIII

ESTÁCIO

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Ao calcular o limite de \( \frac{1}{x} \) quando \( x \) tende ao infinito, podemos observar que à medida que \( x \) aumenta indefinidamente, o valor de \( \frac{1}{x} \) se aproxima de zero. Isso ocorre porque, à medida que o denominador (no caso, \( x \)) cresce, o valor do quociente \( \frac{1}{x} \) diminui cada vez mais, aproximando-se de zero, mas sem nunca atingi-lo. Portanto, o valor correto do limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \) é 0, como indicado na opção a).

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Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( x \ln(x) \right) \)?
a) \( \ln(x) + 1 \)
b) \( \ln(x) \)
c) \( \ln(x) - 1 \)
d) \( \ln(x) \cdot x \)
a) \( \ln(x) + 1 \). Explicação: Usando a regra do produto e a derivada de \( \ln(x) \).

Qual é o valor da soma \( \sum_{k=1}^n \frac{k}{k+1} \)?
a) \( n - \frac{n}{n+1} \)
b) \( n - 1 \)
c) \( \frac{n(n+1)}{2} \)
d) \( n \)
Resposta: a) \( n - \frac{n}{n+1} \). Explicação: Usando decomposição em frações parciais e simplificação.

Qual é o valor de \( \sqrt{2 + 2\cos(\theta)} \)?
a) \( 2 \cos(\frac{\theta}{2}) \)
b) \( 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \)
c) \( \cos(\theta) \)
d) \( \sin(\theta) \)
Resposta: a) \( 2 \cos(\frac{\theta}{2}) \). Explicação: Usando a identidade trigonométrica \( \cos(\theta) = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1 \).

Qual é o valor de \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \)?
a) \( \frac{\pi}{2} \)
b) \( \frac{\pi}{4} \)
c) \( \pi \)
d) \( \frac{\pi}{6} \)
Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \).

Qual é a solução da equação \( e^x = 5 \)?
a) \( x = \ln(5) \)
b) \( x = e^5 \)
c) \( x = \frac{5}{e} \)
d) \( x = 5 \ln(e) \)
Resposta: a) \( x = \ln(5) \). Explicação: Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação.

Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \)?
a) \( -\frac{1}{x^2} \)
b) \( \frac{1}{x^2} \)
c) \( -\frac{1}{x} \)
d) \( \frac{1}{x} \)
Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \). Explicação: A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \).

Qual é o valor da integral \( \int_0^\pi \cos^2(x) \, dx \)?
a) \( \frac{\pi}{2} \)
b) \( \frac{\pi}{4} \)
c) \( \pi \)
d) \( \frac{\pi}{6} \)
Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \).

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Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( x \ln(x) \right) \)?a) \( \ln(x) + 1 \)b) \( \ln(x) \)c) \( \ln(x) - 1 \)d) \( \ln(x) \cdot x \)a) \( \ln(x) + 1 \). Explicação: Usando a regra do produto e a derivada de \( \ln(x) \).

Qual é o valor da soma \( \sum_{k=1}^n \frac{k}{k+1} \)?a) \( n - \frac{n}{n+1} \)b) \( n - 1 \)c) \( \frac{n(n+1)}{2} \)d) \( n \)Resposta: a) \( n - \frac{n}{n+1} \). Explicação: Usando decomposição em frações parciais e simplificação.

Qual é o valor de \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \)?a) \( \frac{\pi}{2} \)b) \( \frac{\pi}{4} \)c) \( \pi \)d) \( \frac{\pi}{6} \)Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \).

Qual é a solução da equação \( e^x = 5 \)?a) \( x = \ln(5) \)b) \( x = e^5 \)c) \( x = \frac{5}{e} \)d) \( x = 5 \ln(e) \)Resposta: a) \( x = \ln(5) \). Explicação: Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação.

Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \)?a) \( -\frac{1}{x^2} \)b) \( \frac{1}{x^2} \)c) \( -\frac{1}{x} \)d) \( \frac{1}{x} \)Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \). Explicação: A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \).

Qual é o valor da integral \( \int_0^\pi \cos^2(x) \, dx \)?a) \( \frac{\pi}{2} \)b) \( \frac{\pi}{4} \)c) \( \pi \)d) \( \frac{\pi}{6} \)Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \).

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a) \( \ln(x) + 1 \)
b) \( \ln(x) \)
c) \( \ln(x) - 1 \)
d) \( \ln(x) \cdot x \)
a) \( \ln(x) + 1 \). Explicação: Usando a regra do produto e a derivada de \( \ln(x) \).

Qual é o valor da soma \( \sum_{k=1}^n \frac{k}{k+1} \)?
a) \( n - \frac{n}{n+1} \)
b) \( n - 1 \)
c) \( \frac{n(n+1)}{2} \)
d) \( n \)
Resposta: a) \( n - \frac{n}{n+1} \). Explicação: Usando decomposição em frações parciais e simplificação.

Qual é o valor de \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \)?
a) \( \frac{\pi}{2} \)
b) \( \frac{\pi}{4} \)
c) \( \pi \)
d) \( \frac{\pi}{6} \)
Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \).

Qual é a solução da equação \( e^x = 5 \)?
a) \( x = \ln(5) \)
b) \( x = e^5 \)
c) \( x = \frac{5}{e} \)
d) \( x = 5 \ln(e) \)
Resposta: a) \( x = \ln(5) \). Explicação: Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação.

Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \)?
a) \( -\frac{1}{x^2} \)
b) \( \frac{1}{x^2} \)
c) \( -\frac{1}{x} \)
d) \( \frac{1}{x} \)
Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \). Explicação: A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \).

Qual é o valor da integral \( \int_0^\pi \cos^2(x) \, dx \)?
a) \( \frac{\pi}{2} \)
b) \( \frac{\pi}{4} \)
c) \( \pi \)
d) \( \frac{\pi}{6} \)
Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \).