2. Determine o valor de \(\int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). [object Object]

Para determinar o valor da integral \(\int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\), podemos utilizar o conceito de integrais impróprias. Essa integral pode ser resolvida calculando o limite da integral definida de 0 a t quando t tende ao infinito. Assim, temos: \[ \int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \lim_{{t \to \infty}} \int_0^t \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \] Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição \(u = x^2 + 1\), e então \(du = 2x \, dx\). Dessa forma, a integral se torna: \[ \lim_{{t \to \infty}} \int_0^t \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \lim_{{t \to \infty}} \frac{1}{2} \int_1^{t^2 + 1} \frac{1}{u} \, du \] Resolvendo a integral acima, obtemos: \[ \lim_{{t \to \infty}} \frac{1}{2} \ln|u| \Bigg|_1^{t^2 + 1} = \lim_{{t \to \infty}} \frac{1}{2} (\ln(t^2 + 1) - \ln(1)) = \lim_{{t \to \infty}} \frac{1}{2} \ln(t^2 + 1) \] Portanto, o valor da integral \(\int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\) é \(\frac{1}{2} \ln(t^2 + 1)\) quando t tende ao infinito.