90. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} \)? A) 0 B) 1 C) 7 D) Não existe

Para resolver essa questão, podemos utilizar a propriedade fundamental da derivada da função tangente, que é \( \frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x) \). Vamos analisar a expressão \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} \): Ao substituir \( x = 0 \), teremos uma forma indeterminada do tipo \( \frac{0}{0} \), o que nos permite aplicar a regra de L'Hôpital. Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a \( x \): \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{7\sec^2(7x)}{1} = 7\sec^2(0) = 7 \). Portanto, o valor do limite é 7, e a alternativa correta é: C) 7.