Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^{x} + e^{-x} \), podemos usar a regra da derivada da função exponencial, que diz que a derivada de \( e^{u} \) em relação a \( x \) é \( e^{u} \cdot u' \), onde \( u \) é uma função de \( x \). Assim, derivando \( e^{x} \) em relação a \( x \) resulta em \( e^{x} \) e derivando \( e^{-x} \) em relação a \( x \) resulta em \( -e^{-x} \). Portanto, a derivada de \( f(x) = e^{x} + e^{-x} \) é a soma das derivadas de cada termo, ou seja, \( e^{x} + (-e^{-x}) \), que simplificado é \( e^{x} - e^{-x} \). Dessa forma, a alternativa correta é a) \( e^{x} - e^{-x} \).