Para derivar a função composta \( z = f(x, y) \) onde \( f(x, y) = y^2 - 3xy \) e \( x = r \cos(t) \) e \( y = r \sen(t) \), você deve usar a regra da cadeia. 1. Identifique as variáveis: Aqui, \( z \) depende de \( x \) e \( y \), que por sua vez dependem de \( r \) e \( t \). 2. Calcule as derivadas parciais: - Derivada parcial de \( f \) em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = -3y \] - Derivada parcial de \( f \) em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y - 3x \] 3. Calcule as derivadas de \( x \) e \( y \) em relação a \( r \) e \( t \): - Derivadas de \( x \) e \( y \): \[ \frac{\partial x}{\partial r} = \cos(t), \quad \frac{\partial x}{\partial t} = -r \sen(t) \] \[ \frac{\partial y}{\partial r} = \sen(t), \quad \frac{\partial y}{\partial t} = r \cos(t) \] 4. Aplique a regra da cadeia: Para encontrar \( \frac{\partial z}{\partial r} \) e \( \frac{\partial z}{\partial t} \): \[ \frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} \] \[ \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \] 5. Substitua as derivadas e simplifique para obter as expressões finais. Esse processo garante que você esteja aplicando corretamente a regra da cadeia para funções compostas. Se precisar de mais detalhes em alguma etapa, é só avisar!