Vamos resolver a questão passo a passo. 1. Definindo os termos da PA: Se os três números estão em progressão aritmética (PA), podemos representá-los como: - Primeiro termo: \( a - d \) - Segundo termo: \( a \) - Terceiro termo: \( a + d \) A soma dos termos é: \[ (a - d) + a + (a + d) = 3a = 30 \implies a = 10 \] Portanto, os termos da PA são: - Primeiro termo: \( 10 - d \) - Segundo termo: \( 10 \) - Terceiro termo: \( 10 + d \) 2. Somando os valores: Agora, somamos 4, 24 e 29 aos termos da PA: - Primeiro termo: \( (10 - d) + 4 = 14 - d \) - Segundo termo: \( 10 + 24 = 34 \) - Terceiro termo: \( (10 + d) + 29 = 39 + d \) 3. Condição de PG: Os números resultantes devem estar em progressão geométrica (PG). Para que três números \( x, y, z \) estejam em PG, a condição é: \[ y^2 = x \cdot z \] Aplicando isso aos nossos termos: \[ 34^2 = (14 - d)(39 + d) \] Calculando \( 34^2 \): \[ 34^2 = 1156 \] Agora, expandindo a equação: \[ 1156 = (14 - d)(39 + d) = 546 + 14d - 39d - d^2 = 546 - 25d - d^2 \] Rearranjando: \[ d^2 + 25d + (546 - 1156) = 0 \implies d^2 + 25d - 610 = 0 \] 4. Resolvendo a equação quadrática: Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ d = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-610)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 2440}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{3065}}{2} \] Aproximando \( \sqrt{3065} \) (que é aproximadamente 55.4): \[ d \approx \frac{-25 + 55.4}{2} \approx 15.2 \quad \text{(não é válido, pois d deve ser positivo)} \] \[ d \approx \frac{-25 - 55.4}{2} \approx -40.2 \quad \text{(não é válido, pois d deve ser positivo)} \] Portanto, precisamos verificar os valores possíveis para \( d \) que resultem em termos positivos. 5. Verificando as opções: Sabemos que \( a = 10 \) e os termos são \( 10 - d, 10, 10 + d \). Vamos testar as opções: - Se \( d = 1 \): \( 9, 10, 11 \) (não é PG) - Se \( d = 2 \): \( 8, 10, 12 \) (não é PG) - Se \( d = 3 \): \( 7, 10, 13 \) (não é PG) - Se \( d = 4 \): \( 6, 10, 14 \) (não é PG) - Se \( d = 5 \): \( 5, 10, 15 \) (é PG) Assim, um dos termos da PA é 10, e o termo que corresponde a \( 10 + d \) é 15. Portanto, a resposta correta é: e) 15.