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Ed 
há 6 meses
Vamos analisar cada afirmativa: I. A transformada de Laplace para a função constante \( f(t) = \pi \) é \( \mathcal{L}(f) = \frac{1}{\pi s} \), para \( s > 0 \). Essa afirmativa está incorreta. A transformada de Laplace de uma constante \( c \) é dada por \( \mathcal{L}(c) = \frac{c}{s} \). Portanto, para \( f(t) = \pi \), a transformada seria \( \mathcal{L}(f) = \frac{\pi}{s} \). II. A transformada de Laplace para a função \( f(t) = \sqrt{3} t \) é \( \mathcal{L}(f) = \frac{3}{s^2} \), para \( s > 0 \). Essa afirmativa está correta. A transformada de Laplace de \( t^n \) é \( \frac{n!}{s^{n+1}} \), e para \( n = 1 \), temos \( \mathcal{L}(t) = \frac{1}{s^2} \), então para \( f(t) = \sqrt{3} t \), a transformada é \( \sqrt{3} \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{\sqrt{3}}{s^2} \), o que não corresponde à afirmativa. Portanto, essa afirmativa está incorreta. III. Sendo \( c \) uma constante, com \( c \in \mathbb{R} \), \( \mathcal{L}(c f) = c \mathcal{L}(f) \). Essa afirmativa está correta. Essa propriedade é verdadeira para a transformada de Laplace. IV. A relação \( \mathcal{L}(y''(t)) = s^2 \mathcal{L}(y(t)) - s y(0) - y'(0) \) é verdadeira, e a condição de que os limites tendem a zero está correta. Portanto, essa afirmativa está correta. Agora, resumindo as análises: - I: Incorreta - II: Incorreta - III: Correta - IV: Correta Portanto, a alternativa que contém todos os itens verdadeiros é: e) III e IV, apenas.
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Ed
ano passado
Vamos analisar cada afirmativa: I. A transformada de Laplace para a função constante \(f(t) = \pi\) é igual a \(\mathcal{L}\{f\} = \frac{1}{\pi s}\) para \(s > 0\). Esta afirmativa está correta, pois a transformada de Laplace de uma constante é dada por \(F(s) = \frac{a}{s}\), onde \(a\) é a constante. II. A transformada de Laplace para a função \(f(t) = \sqrt{3}t\) é igual a \(\mathcal{L}\{f\} = \frac{3}{s^2}\) para \(s > 0\). Esta afirmativa está correta, pois a transformada de Laplace da função \(t^n\) é \(\frac{n!}{s^{n+1}}\), então para \(f(t) = \sqrt{3}t\), temos \(n=1\) e \(a=\sqrt{3}\), resultando em \(\frac{3}{s^2}\). III. Sendo \(c\) uma constante real, a transformada de Laplace de \(c \cdot f(t)\) é igual a \(c \cdot \mathcal{L}\{f\}\). Esta afirmativa está correta, pois a transformada de Laplace é linear, o que significa que a transformada de uma constante multiplicando uma função é igual à constante multiplicando a transformada da função. IV. A equação diferencial \(y''(t) = s^2 \cdot y(t) - s \cdot y(0) - y'(0)\) com as condições de contorno \(lim_{t \to \infty} y(t)e^{-st} = 0\) e \(lim_{t \to \infty} y'(t)e^{-st} = 0\) está correta. Esta afirmativa está correta, pois representa a equação diferencial que descreve o comportamento de um sistema linear invariante no tempo. Portanto, as afirmativas corretas são II, III e IV, apenas. A alternativa correta é: a) II, III e IV, apenas.
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