Pergunta 5 Seja f open parentheses x close parentheses função inversível tal que ambas f left parenthesis x right parenthesis text e end text f to the power of negative 1 end exponent left parenthesis x right parenthesis são deriváveis e integráveis. Assuma que F open parentheses x close parentheses é uma primitiva de f open parentheses x close parentheses. Com respeito a integral indefinida de f to the power of negative 1 end exponent open parentheses x close parentheses, é correto afirmar que: a. integral f to the power of negative 1 end exponent left parenthesis x right parenthesis d x equals x f to the power of negative 1 end exponent left parenthesis x right parenthesis minus F open parentheses f to the power of negative 1 end exponent left parenthesis x right parenthesis close parentheses plus c b. integral f to the power of negative 1 end exponent left parenthesis x right parenthesis d x equals x f left parenthesis x right parenthesis minus F left parenthesis x right parenthesis plus c c. integral f to the power of negative 1 end exponent left parenthesis x right parenthesis d x equals x f left parenthesis x right parenthesis minus F open parentheses f to the power of negative 1 end exponent left parenthesis x right parenthesis close parentheses plus

Question

Pergunta 5  Seja f open parentheses x close parentheses função inversível tal que ambas f left parenthesis x right parenthesis text  e  end text f ...

Ed · Answer

Vamos analisar a questão sobre a integral indefinida da função inversa $ f^{-1}(x) $.

A integral indefinida de uma função inversa pode ser expressa usando a fórmula de integração por partes. A fórmula geral para a integral de uma função inversa é:

$$
\int f^{-1}(x) \, dx = x f^{-1}(x) - F(f^{-1}(x)) + C
$$

onde $ F(x) $ é uma primitiva de $ f(x) $.

Agora, vamos analisar as alternativas:

a. $ \int f^{-1}(x) \, dx = x f^{-1}(x) - F(f^{-1}(x)) + C $ - Esta alternativa está correta, pois segue a fórmula mencionada.

b. $ \int f^{-1}(x) \, dx = x f(x) - F(x) + C $ - Esta alternativa está incorreta, pois não utiliza a função inversa corretamente.

c. $ \int f^{-1}(x) \, dx = x f(x) - F(f^{-1}(x)) + C $ - Esta alternativa também está incorreta, pois não segue a fórmula correta para a integral da função inversa.

Portanto, a alternativa correta é a) $ \int f^{-1}(x) \, dx = x f^{-1}(x) - F(f^{-1}(x)) + C $.

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