Seja S a parte do cilindro x + y = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por ∬ zdS 3π/2 π 2π 5/2π 6π

Para resolver a integral de superfície \(\iint_S z \, dS\) sobre a parte do cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) limitada pelos planos \(z = 0\) e \(z = x + 1\), siga os passos abaixo: 1. Parametrização da Superfície: O cilindro pode ser parametrizado usando coordenadas cilíndricas: \[ x = \cos(\theta), \quad y = \sin(\theta), \quad z = z \] onde \(\theta\) varia de \(0\) a \(2\pi\) e \(z\) varia de \(0\) a \(\cos(\theta) + 1\). 2. Cálculo do Elemento de Área \(dS\): O elemento de área em coordenadas cilíndricas é dado por: \[ dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy \] Para \(z = x + 1\), temos \(\frac{\partial z}{\partial x} = 1\) e \(\frac{\partial z}{\partial y} = 0\), então: \[ dS = \sqrt{1 + 1^2} \, dx \, dy = \sqrt{2} \, dx \, dy \] 3. Substituição na Integral: A integral se torna: \[ \iint_S z \, dS = \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(\theta) + 1} z \sqrt{2} \, dz \, d\theta \] 4. Cálculo da Integral: - Primeiro, integre em relação a \(z\): \[ \int_0^{\cos(\theta) + 1} z \, dz = \left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{\cos(\theta) + 1} = \frac{(\cos(\theta) + 1)^2}{2} \] - Agora, substitua na integral: \[ \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \frac{(\cos(\theta) + 1)^2}{2} \, d\theta \] 5. Simplificação: \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \int_0^{2\pi} (\cos^2(\theta) + 2\cos(\theta) + 1) \, d\theta \] - A integral de \(\cos^2(\theta)\) de \(0\) a \(2\pi\) é \(\pi\), a integral de \(\cos(\theta)\) é \(0\), e a integral de \(1\) é \(2\pi\): \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\pi + 0 + 2\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3\pi = \frac{3\sqrt{2}\pi}{2} \] 6. Resultado Final: A integral de superfície \(\iint_S z \, dS\) resulta em \(3\pi/2\). Portanto, a resposta correta é \(3\pi/2\).