Para calcular a derivada do produto escalar \( r(t) \cdot u(t) \), vamos usar a regra do produto. Dado: - \( r(t) = (t, 2\sen(t), 2\cos(t)) \) - \( u(t) = \left(\frac{1}{t}, 2\sen(t), 2\cos(t)\right) \) O produto escalar é dado por: \[ r(t) \cdot u(t) = t \cdot \frac{1}{t} + 2\sen(t) \cdot 2\sen(t) + 2\cos(t) \cdot 2\cos(t) \] Simplificando: \[ r(t) \cdot u(t) = 1 + 4\sen^2(t) + 4\cos^2(t) \] Usando a identidade \( \sen^2(t) + \cos^2(t) = 1 \): \[ r(t) \cdot u(t) = 1 + 4(1) = 5 \] Agora, derivamos: \[ \frac{d}{dt}[r(t) \cdot u(t)] = \frac{d}{dt}[5] = 0 \] Portanto, a resposta é: \[ \frac{d}{dt}[r(t) \cdot u(t)] = 0 \]