1.9 Determine ~r (t) sabendo que d~r/dt = t2 ~i + 4 t3 ~j − t2 ~k e ~r (0) = ~j.

Para determinar \(\mathbf{r}(t)\) a partir da derivada \(\frac{d\mathbf{r}}{dt} = t^2 \mathbf{i} + 4t^3 \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}\) e da condição inicial \(\mathbf{r}(0) = \mathbf{j}\), precisamos integrar a função vetorial. 1. Integração: \[ \mathbf{r}(t) = \int (t^2 \mathbf{i} + 4t^3 \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}) \, dt \] - Para \(\mathbf{i}\): \[ \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C_1 \] - Para \(\mathbf{j}\): \[ \int 4t^3 \, dt = t^4 + C_2 \] - Para \(\mathbf{k}\): \[ \int -t^2 \, dt = -\frac{t^3}{3} + C_3 \] Assim, temos: \[ \mathbf{r}(t) = \left(\frac{t^3}{3} + C_1\right) \mathbf{i} + (t^4 + C_2) \mathbf{j} + \left(-\frac{t^3}{3} + C_3\right) \mathbf{k} \] 2. Condição inicial: Sabemos que \(\mathbf{r}(0) = \mathbf{j}\), ou seja, \(\mathbf{r}(0) = 0 \mathbf{i} + 1 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}\). Substituindo \(t = 0\): \[ \mathbf{r}(0) = \left(\frac{0^3}{3} + C_1\right) \mathbf{i} + (0^4 + C_2) \mathbf{j} + \left(-\frac{0^3}{3} + C_3\right) \mathbf{k} \] Isso resulta em: \[ C_1 = 0, \quad C_2 = 1, \quad C_3 = 0 \] 3. Resultado final: Portanto, a função vetorial \(\mathbf{r}(t)\) é: \[ \mathbf{r}(t) = \frac{t^3}{3} \mathbf{i} + t^4 \mathbf{j} - \frac{t^3}{3} \mathbf{k} \]