Para resolver a equação diferencial \( s'' - 6s' + 9s = 0 \), primeiro encontramos a solução geral da equação característica associada: 1. A equação característica é \( r^2 - 6r + 9 = 0 \). 2. Resolvendo, obtemos \( (r - 3)^2 = 0 \), o que nos dá uma raiz dupla \( r = 3 \). Assim, a solução geral da equação diferencial é: \[ s(t) = C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t} \] Agora, aplicamos as condições iniciais \( s(0) = 2 \) e \( s'(0) = 8 \): 1. Para \( s(0) = 2 \): \[ s(0) = C_1 = 2 \] 2. Para \( s'(t) \), precisamos calcular a derivada: \[ s'(t) = 3C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} + 3C_2 t e^{3t} \] Substituindo \( t = 0 \): \[ s'(0) = 3C_1 + C_2 = 8 \] Com \( C_1 = 2 \): \[ 3(2) + C_2 = 8 \implies 6 + C_2 = 8 \implies C_2 = 2 \] Portanto, a solução particular é: \[ s(t) = 2 e^{3t} + 2t e^{3t} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( 2e^{3x}(1+x) \) - Esta é a forma correta da solução encontrada. B) \( 4e^{3x} - 24e^{3x} - 2 \) - Não corresponde à solução. C) \( 2\cos(3x) + 2\sen(3x) \) - Não corresponde à solução. D) \( 2e^{3x} + 2e^{x} \) - Não corresponde à solução. E) \( xe^{3x}(2+x) \) - Não corresponde à solução. Portanto, a alternativa correta é a A) \( 2e^{3x}(1+x) \).